Исчисление понятий

        «ИСЧИСЛЕНИЕ ПОНЯТИЙ» («Запись в понятиях») — сочинение немецкого математика и логика Готтлоба Фреге, положившее начало современной форме математической (символической) логики. Полное название этого сочинения включало указание на то, что в нем излагается «язык формул чистого мышления, построенный по образцу арифметического» (Frege G. Begriffsschrift, eine der ariphmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens. Jena, 1879; рус. пер. в книге: Фреге Г. Логика и логическая семантика: Сб. трудов. М., 2000). Выход в свет этого труда позволил его автору получить должность экстраординарного профессора Иенского университета, которую он занимал вплоть до своей отставки в 1918.

        Свой «язык формул чистого мышления» Фреге рассматривал как шаг в реализации замысла Лейбница — разработать всеобщую характеристику (cicullus philosophicus или calculus ratiocinator), но; в отличие от Лейбница он рассматривал язык «исчисления понятий» как вспомогательное научное средство, производное от естественного языка и содержательного мышления. Непосредственную же цель своего труда 1879 Фреге видел в том, чтобы чисто логически обосновать арифметику (как основу математического анализа): определить арифметические понятия в терминах логики, а ее законы вывести из логических законов. Для этого Фреге отказался от подхода традиционной логики и стал истолковывать понятия как функции в математическом смысле, но такие, что их аргументами являются предметы произвольной природы, а значениями — абстрактные объекты «истина» и «ложь», которым в последующих работах он дал название истинностных значений (или значений истинности). Построив оригинальный двумерный логический язык, Фреге изложил на нем — впервые в логике — дедуктивно-аксиоматическую систему классической расширенной логики предикатов с равенством при импликации и отрицании в качестве исходых пропозициональных операций и кванторе общности на логико-функциональном уровне, а также применил эту систему для формулировки некоторых математических понятий. В книге Фреге было показано, что через (материальную) импликацию и отрицание могут выражаться другие операции логики высказываний и фактически содержалось хорошо известное ныне их табличное задание; квантор существования вводился по определению — через квантор общности и операцию отрицания. К этой книге восходят различение переменных и постоянных (констант), свободных и связанных переменных; понятия терма и дескрипции; в этом труде был введен «штрих содержания» "—" помещаемый перед суждением: — Ли позволяющий оценивать его с точки зрения истиности либо ложности; если акт суждения завершается констатацией истинности А, то слева от горизонтали ставится вертикальная черта, и так возникает хорошо известный в современной логике знак доказанности: |—. Все законы логики, принятые либо доказанные в исчислении понятий, а также все полученные на их основе теоремы математического содержания, предварялись этим знаком, причем впервые было применено то, что ныне называется «анализом доказательства». В «И. п.» были заложены основы будущей фрегевской дефиниции чисел (численостей) как «свойств понятий».

        Аксиоматика, изложенная в работе Фреге, включала — на пропозициональном уровне — схемы аксиом, выражающие принцип «Истина следует из всего что угодно», ослабленный модус поненс (или закон самодистибутивности импликации), законы введения и снятия (двойного) отрицания, а также перестановки посылок в логической формуле; задавались законы, определяющие отношение равенства; квантор общности вводился при задавании языка исчисления понятий. Правилами дедуктивного перехода служили модус поненс и правило удаления квантора общности. Исчисление высказываний Фреге было дедуктивно полно и непротиворечиво. Его расширение до логики, предикатов второго порядка, где допускались функциональные переменные и их связывание квантором общности, таило в себе угрозу противоречия, которая, однако, не реализовалась из-за того, что в «И. п.» не был задан способ перехода от функций (в частности предикатов) к областям их предметных значений (объемам предикатов — свойств и отношений), т.е. не формулировался принцип экстенсиональности (объемности). Поэтому присущее Фреге представление об универсальности предметной области в логике (предметы — это все, что отлично от функций) не влекло противоречивости системы, изложенной в его труде.

        Значение логических результатов Фреге не было понято современниками. Его символика не получила распространения. Важность трудов Фреге, начиная с «И. п.», открыл Б. Рассел, транслировавший, популяризировавший и развивавший его идеи. Современные аксиоматики классической логики высказываний и предикатов в значительной степени повторяют Фреге, а стиль их построения, называемый «гильбетовским», на самом деле является фрегевским.

        Б.В. Бирюков

        Лит.: Бирюков Б.В. Готтлоб Фреге и современная наука // Фреге Г. Логика и логическая семантика. М., 2000; Его же. В логическом мире Фреге // Там же; Currie G. Frege. An Introduction to his Philosophy. Bringhton, Sussex; Totowa, N. J., 1982; Kutschera R von. Gottlob Frege. Eine Einfiihrung in sein Werk. В., N.Y., 1989; Stelzner W. Gottlob Frege. Jena und die Geburt der modernen Logik. ReFIT e. V., 1996; KreiserL. Gottlob Frege. Leben — Werk — Zeit. Hamburg, 2001.